Задачи на тему: "Комбинации геометрических тел с шаром"

249 (511). На чертеже изображено осевое сечение цилиндра (прямого кругового) и шара, описанного около цилиндра; считая, что радиус шара R, а диагональ прямоугольника в осевом сечении цилиндра составляет с основанием угол , доказать, что Н = 2R • sin и r = R • cos , где Н — высота цилиндра и r — радиус его основания. Рассмотрите самостоятельно случай шара, вписанного в цилиндр. Иллюстрация...

250 (512). На чертеже изображено осевое сечение конуса (прямого кругового) и шара, описанного около конуса. Считая, что радиус шара R и угол при вершине осевого сечения конуса , доказать, что АОО1 = ; 1 = Н = 2R*cos2/2; l = 2R*cos2/2; H*(2R-H) = r2; r = R*sin = l*sin /2 = H*tg /2 Иллюстрация...

251 (513). На чертеже изображено осевое сечение прямого кругового усеченного конуса и шара, описанного около конуса.Считая известным радиус шара R, образующую конуса l и угол наклона образующей конуса к плоскости нижнего его основания, доказать справедливость следующих соотношений: d = 2R*sin; Н = l*sin; (r2 + r1)2 = sin2*(4R2 - l2); r2 - r1 = l*cos. (l — образующая, H — высота, d — диагональ осевого сечения, r1 и r2 — радиусы нижнего и верхнего оснований). Иллюстрация...

252 (514). 1) Шар радиуса R вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса . Найти радиусы оснований и образующую усечённого конуса. Иллюстрация...

252 (514). 2) Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы а. Найти высоту призмы при n = 3; 4; 6. Иллюстрация...

253 (515). Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен . Определить радиус шара, вписанного в пирамиду. Иллюстрация...

254 (516). Определить радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . (Вычислить, при n = 8; а = 3,5 м; = 58°) Иллюстрация...

255 (517). Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом , двугранные углы при основании равны . Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Иллюстрация...

256 (518). В конусе даны длина с окружности основания и угол между образующей и основанием. Определить длину линии, по которой взаимно касаются боковая поверхность конуса и поверхность вписанного в него шара. Иллюстрация...

257 (519). В конус вписан шар; линией касания поверхность этого шара делится в отношении m : n. Определить угол наклона образующей конуса к его оси. Иллюстрация...

258 (520). Определить угол между образующей и плоскостью основания конуса, объём которого в m раз более объёма вписанного в конус шара. (Вычислить угол, если m = 9/4). Иллюстрация...

259 (521). Сечение, перпендикулярное к высоте конуса, делит конус на две равновеликие части и проходит через центр описанного около конуса шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса. Иллюстрация...

260 (522). В конусе помещены два шара так, что они касаются цруг друга и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров равно m : n (m > n). Определить величину угла при вершине осевого сечения конуса. Иллюстрация...

261 (523). Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырёх равных шаров, расположенных так, что каждый касается трёх других. Иллюстрация...

262 (524). Определить радиус шара, описанного около усечённою конуса, в котором радиусы оснований R и r, а образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом (R > r). Иллюстрация...

263 (525). В усечённый конус, радиусы оснований которого r1 и r2, вписан шар. Определить: 1) площадь поверхности шара и 2) угол наклона образующей конуса к плоскости его основания. Иллюстрация...

264 (526). 1) Высота правильной четырёхугольной призмы равна h, а диагональ призмы наклонена к боковой грани под углом . Определить радиус шара, описанного около призмы. Иллюстрация...

264 (526). 2) Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, диагонали двух боковых граней, проведённых из одной вершины верхнего основания призмы, образуют угол 2, обращенный к основанию. Определить радиус описанного шара. Иллюстрация...

265 (527). Около шара, объём которого V, описана прямая четырёхугольная призма; основание призмы — ромб с острым углом . Определить объём призмы. Иллюстрация...

266 (528). В шар радиуса R вписана прямая призма; основание её — прямоугольный треугольник с острым углом , а наибольшая её боковая грань — квадрат. Определить объём призмы. Иллюстрация...

267 (529). Призма, основание которой — прямоугольный треугольник с острым углом , описана около шара. Вычислить объём призмы, если перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу в основании призмы, равен h. Иллюстрация...

268 (530). В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро b образует с плоскостью основания угол . Определить радиус шара, описанного около пирамиды. Иллюстрация...

269 (531). В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а и двугранный угол при ребре основания равен . Определить радиус шара, вписанного в пирамиду. Иллюстрация...

270 (532). В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания а и плоский угол при вершине равен . Определить: 1) радиус вписанного шара и 2) радиус описанного шара. Иллюстрация...

271 (533). В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине. Определить высоту пирамиды. Иллюстрация...

272 (534). Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого и сторона между ними а. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом . Определить радиус вписанного в пирамиду шара. Иллюстрация...

273 (535). 1) Около шара радиуса R описана четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит ромб с острым углом . Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом . Определить объём и площадь поверхности пирамиды. Иллюстрация...

273 (535). 2) В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида, у которой двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить ребро основания пирамиды. Иллюстрация...

274 (536). В правильной четырёхугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Определить двугранный угол при ребре основания пирамиды. Иллюстрация...

275 (537). Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом между диагоналями, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол . Определить объём этой пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен R. Иллюстрация...

276 (538). Определить радиус шара, вписанного в правильную n-угольную пирамиду, сторона основания которой равна а и плоский угол при вершине равен . Иллюстрация...

277 (539). Определить радиус шара, описанного около треугольной пирамиды, стороны основания которой а, b и с, а боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом . Иллюстрация...

278 (540). В правильную шестиугольную пирамиду c двугранным углом при ребре основания вписан шар радиуса R. Определить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, которая отсечена от данной пирамиды плоскостью, касательной к шару и параллельной плоскости основания пирамиды. Иллюстрация...

279 (541). Около шара описана правильная четырёхугольная усечённая пирамида: объём восьмигранника, вершинами которого служат точки касания поверхности шара с гранями усечённой пирамиды, вчетверо меньше объёма шара. Определить двугранные углы при ребре основания пирамиды. Иллюстрация...

280 (542). В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ; высота h пирамиды служит диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей. Иллюстрация...

281 (543). В конус вписан шар; сечение, касательное к шару и параллельное основанию конуса, делит конус на две равновеликие части. Определить угол наклона образующей к плоскости основания конуса. Иллюстрация...

282 (544). Вокруг шара радиуса R описан усечённый конус, образующая которого наклонена к плоскости большего основания под углом . Определить длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса. Иллюстрация...

283 (545). В усечённый конус вписан шар радиуса R; из центра шара диаметр большего основания усечённого конуса виден под углом . Определить объём усечённого конуса. Иллюстрация...

284 (546). 1) В шар радиуса R вписан конус, образующая которого составляет с высотой угол . Определить объём конуса. Иллюстрация...

284 (546). 2) Определить площадь поверхности шара, вписанного в конус, высота которого h и угол наклона образующей к плоскости основания . Иллюстрация...

285 (547). Вычислить объём конуса, зная радиус R шара, вписанного в конус, и угол , под которым из центра шара видна образующая конуса. Исследовать формулу решения. Иллюстрация...

286 (548). В полушар радиуса R вписан усечённый конус так, что его большее основание совпадает с основанием полушара, а образующая наклонена к плоскости большего основания под углом . Определить площадь поверхности конуса. Иллюстрация...

287 (549). Шар касается боковой поверхности конуса по окружности основания. Поверхность шара делится при этом на две части, из которых одна в n раз больше другой. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости его основания. Иллюстрация...

288 (550). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна Н; перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного около пирамиды, на её боковуо грань, образует с высотой угол . Определить объём шара. Иллюстрация...

289 (551). Основание пирамиды — прямоугольный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют острый двугранный угол , а третья боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Пирамида вписана в шар радиуса R. Найти объём пирамиды. Иллюстрация...

290 (552). Около шара описан прямой параллелепипед, объём которого в m раз больше объёма шара. Определить углы в основании параллелепипеда. Иллюстрация...

291 (553). Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса. Иллюстрация...