Задачі на тему: "Аксіоми стереометрії та наслідки з них" (Варіант 1)

83. Чи можна стверджувати, що: 1) будь-які дві точки завжди лежать на одній прямій; 2) будь-які чотири точки завжди лежать в одній площині? Ілюстрація...

84. Чи можуть дві різні площини мати лише одну спільну точку? Ілюстрація...

85. Чи можна стверджувати, що будь-яка пряма, яка перетинає кожну з двох даних прямих, що перетинаються, лежить у площині, яка проходить через ці прямі? Ілюстрація...

86. Чи є правильним твердження, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці: 1) на площині; 2) у просторі? Ілюстрація...

87. Доведіть, що коли через дві прямі не можна провести площину, то ці прямі не перетинаються. Ілюстрація...

88. Площини і перетинаються по прямій а. У площині проведено пряму b, яка перетинає площину . Доведіть, що точка перетину прямої b і площини належить прямій а. Ілюстрація...

89. Площини і перетинаються по прямій т. Площина перетинає площини і відповідно по прямим а і b, які перетинаються в точці А. Доведіть, що точка А належить прямій т. Ілюстрація...

90. Чи можна стверджувати, що через пряму і дві точки поза нею можна провести площину? Ілюстрація...

91. Доведіть, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину. Ілюстрація...

92. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Доведіть, що кожні три з них не лежать на одній прямій. Ілюстрація...

93. Три прямі лежать у площині і перетинаються в точці K. Доведіть, що існує площина, відмінна від , яка перетинає дані прямі. Ілюстрація...

94. Площини і перетинаються по прямій с. Доведіть, що існує ще одна площина, відмінна від і , яка містить пряму с. Ілюстрація...

95. Пряма b перетинає площину у точці В. Пряма а належить площині і не проходить через точку В. Доведіть, що прямі а і b не перетинаються. Ілюстрація...

96. Точки А, В, С і D розміщені у просторі так, що продовження сторін АВ і CD чотирикутника ABCD перетинаються. Доведіть, що вказані точки належать одній площині. Ілюстрація...

97. Прямі а і b перетинаються в точці О. Доведіть, що всі прямі, які перетинають пряму b і проходять через довільну точку прямої а, відмінну від точки О, лежать в одній площині. Ілюстрація...

98. Серед n даних прямих кожні дві перетинаються. Доведіть, що всі ці прямі лежать в одній площині або проходять через одну точку. Ілюстрація...

99. Прямі а і b не лежать в одній площині. Прямі с і d перетинають кожну з прямих а і b. Чи є правильни твердження, що прямі с і d не перетинаються. Ілюстрація...

100. Дано площину і точку K, яка їй не належить. З точки K проведено два промені, які перетинають площину в точках А і В. Пряма l перетинає промені і KB та площину . Доведіть, що прямі l і АВ перетинаються. Ілюстрація...

101. Вершина D плоского чотирикутника ABCD належить площині , а інші вершини лежать поза цією площиною. Продовження сторін ВА і ВС перетинають площину у точках М і K відповідно. Доведіть, що точки М, D і K лежать на одній прямій. Ілюстрація...

102. Площини і перетинаються по прямій а. На площині взято точки М і N такі, що прямі MN і а не паралельні, а в площині вибрано точку K, яка не належить прямій а. Побудуйте лінії перетину площини MNK з площинами і . Ілюстрація...

103. Дві сусідні вершини і точка перетину діагоналей паралелограма належать площині . Чи належать площині дві інші вершини паралелограма? Ілюстрація...

104. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною: 1) дві спільні точки; 2) три спільні точки? Ілюстрація...

105. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розт??шовані ці точки? Ілюстрація...

106. Дано чотири точки, одна з яких не належить площині, яку визначають три інші. Доведіть, що жодна з точок не належить площині, яку визначають три інші. Ілюстрація...

107. Середини трьох сторін трикутника належать площині . Чи належать площині вершини трикутника? Ілюстрація...

108. Точки М і N лежать по один бік від площини, а точки М і K — по різні боки. Відомо, що прямі MN, МK і NK перетинають площину . Доведіть, що точки їх перетину з площиною лежать на одній прямій. Ілюстрація...