Задачі на тему: "Теорема про три перпендикуляри" (Варіант 1)

225. ABCDA1B1C1D1 — куб. Доведіть, що пряма АO перпендикулярна до прямої D1С. Ілюстрація...

226. ABCD — ромб. Пряма FC перпендикулярна до його площини. Доведіть, що прямі AF і BD перпендикулярні. Ілюстрація...

227. До площини прямокутного трикутника ABC (C = 90°) проведено перпендикуляр DA. Знайдіть відстань між точками D і В, якщо ВС = а, DC = b. Ілюстрація...

228. Точка М належить перпендикуляру до площини ромба, який проходить через точку перетину його діагоналей. Доведіть, що точка М рівновіддалена від сторін ромба. Ілюстрація...

229. Через вершину С трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр . Пряма, яка проходить через точку K і середину АВ, перпендикулярна до прямої АВ. Доведіть, що трикутник ABC — рівнобедрений. Ілюстрація...

230. Через вершину прямого кута С трикутника ABC проведено перпендикуляр DC до його площини довжиною n. Знайдіть відстань від точки D до прямої АВ, якщо АС = a, B = . Ілюстрація...

231. Пряма AD перпендикулярна до площини рівнобедреного трикутника ABC (АВ = АС). Проведіть перпендикуляр з точки D до прямої ВС. Ілюстрація...

232. Через вершину С ромба ABCD проведено перпендикуляр FC до його площини. Побудуйте перпендикуляр, опущений з точки F на діагональ BD ромба. Ілюстрація...

233. Через середину О гіпотенузи АВ прямокутного трикутника ABC проведено перпендикуляр до його площини. Побудуйте перпендикуляри, опущені з точки K на катети трикутника. Ілюстрація...

234. Точка М — середина сторони ВС правильного трикутника ABC. Через точку М проведено перпендикуляр ME до площини трикутника. Побудуйте перпендикуляри, опущені з точки Е на прямі АВ, АС і BD, де точка D — середина сторони АС. Ілюстрація...

235. Через вершину прямого кута С трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр CM довжиною 4 см. Знайдіть відстань від точки М до порямої АВ, якщо АС = ВС = 8 см. Ілюстрація...

236. Через точку О перетину діагоналей паралелограма ABCD до його площини проведено перпендикуляр ОМ довжиною 4 см. Знайдіть відстань від точки М до прямих, що містять сторони паралелограма, якщо АВ = 12 см, ВС = 20 см, BAD = 30°. Ілюстрація...

237. Через вершину прямого кута С трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр СK. Відстань від точки K до прямої АВ дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки K до площини трикутника, якщо його катети дорівнюють 15 см і 20 см. Ілюстрація...

238. Через вершину кута D трикутника DFE до його площини проведено перпендикуляр DS довжиною 16 см. Знайдіть відстань від точки S до сторони EF, якщо DE = 13 см, DF = 15 см, EF = 14 см. Ілюстрація...

239. У трикутник ABC вписано коло з центром О. Через точку О до площини трикутника проведено перпендикуляр SO довжиною 5 см. Точка S віддалена від сторони АВ на 13 см. Знайдіть радіус вписаного кола. Ілюстрація...

240. Через центр О кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною 6 см, до площини трикутника проведено перпендикуляр ОМ довжиною 3 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника. Ілюстрація...

241. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см. Через центр О кола, вписаного в цю трапецію, до її площини проведено перпендикуляр ОМ. Точка М знаходиться на відстані 10 см від сторін трапеції. Знайдіть відстань від точки М до площини трапеції. Ілюстрація...

242. Діагоналі ромба дорівнюють 18 см і 24 см. Точка K знаходиться на відстані 3 см від площини ромба і рівновіддалена від його сторін. Знайдіть цю відстань. Ілюстрація...

243. У рівнобедреному трикутнику ABC відомо, що АВ = ВС = 17 см, АС = 16 см. Точка Р знаходиться на відстані 8 см від усіх сторін трикутника ABC. Знайдіть відстань від точки Р до площини трикутника. Ілюстрація...

244. Площа ромба дорівнює S, а його гострий кут — . Точка F віддалена від площини ромба на відстань т. Знайдіть відстань від точки F до сторін ромба, якщо вона рівновіддалена від них. Ілюстрація...

245. Точка D знаходиться на однакових відстанях DA і DB від сторін прямого кута з вершиною С. Точка О — проекція точки D на площину цього кута. Доведіть, що чотирикутник ОАСВ — квадрат. Ілюстрація...

246. Сторони прямокутника дорівнюють 15 см і 20 см. Через середину М його більшої сторони до площини прямокутника проведено перпендикуляр МK довжиною 8 см. Знайдіть відстань від точки K до діагоналей прямокутника. Ілюстрація...

247. Через вершину D прямокутника ABCD до його площини проведено перпендикуляр DE. Точка Е віддалена від сторони АВ на 4 см, від сторони ВС — на 9 см. Знайдіть довжину відрізка DE, якщо BD = 7 см. Ілюстрація...

248. З точки D до площини проведено перпендикуляр DO та похилу DA, яка утворює зі своєю проекцією кут . Через точку А в площині проведено пряму т, яка утворює з прямою ОА кут . Знайдіть косинус кута між похилою DA та прямою т. Ілюстрація...

249. У трикутнику ABC відомо, що АВ = 26 см, ВС = 28 см, АС = 27 см. Через вершину В трикутника проведено похилу, яка утворює з променями ВА і ВС рівні кути. Проекція похилої перетинає сторону АС в точці D. Знайдіть довжину відрізка BD. Ілюстрація...

250. Основи трапеції дорівнюють 14 см і 18 см. Через більшу основу трапеції проведено площину, яка знаходиться на відстані 8 см від меншої основи трапеції. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей трапеції до проведеної площини. Ілюстрація...