Задачі на тему: "Теорема про три перпендикуляри" (Варіант 3)

225. ABCDA1B1C1D1 — куб. Доведіть, що прямі B1O і АС перпендикулярні. Ілюстрація...

226. ABC — рівнобедрений трикутник з основою АC. Пряма BD перпендикулярна до площини трикутника, DM АС. Доведіть, що точка М — середина АС. Ілюстрація...

227. До площини прямокутного трикутника ABC (B = 90°) проведено перпендикуляр МС. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ, якщо МС = а, АС = b, ACB = 30°. Ілюстрація...

228. Через вершину А ромба ABCD проведено пряму SA, перпендикулярну до площини ромба. Доведіть, що точка S рівновіддалена від прямих СВ і CD. Ілюстрація...

229. Через вершину В трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр MB. Пряма, що проходить через точку М і середину АС, ділить кут АМС навпіл. Доведіть, що трикутник ABC — рівнобедрений. Ілюстрація...

230. Через вершину С рівнобедреного трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр FC. Знайдіть відстань від точки F до прямої АВ, якщо АС = BC = m, ACB = , FC = b. Ілюстрація...

231. Пряма CD перпендикулярна до площини прямокутного трикутника ABC (ABC = 90°). Проведіть перпендикуляр з точки D до прямої АВ. Ілюстрація...

232. Діагоналі квадрата ABCD перетинаються в точці О. Пряма FO перпендикулярна до площини квадрата. Проведіть перпендикуляри з точки F до сторін квадрата. Ілюстрація...

233. Точка О належить площині прямокутного трикутника ABC (B = 90°). Пряма DO перпендикулярна до площини трикутника. Проведіть перпендикуляри з точки D до сторін АВ і ВС. Ілюстрація...

234. Через середину Е сторони DC квадрата ABCD до площини квадрата проведено перпендикуляр FE. Проведіть перпендикуляри з точки F до сторін і діагоналей квадрата. Ілюстрація...

235. З точки А до площини проведено перпендикуляр АВ довжиною 12 см і похила АС. Знайдіть відстань від точки А до прямої l, яка належить площині і проходить через точку С перпендикулярно прямій ВС, якщо ВС = 16 см. Ілюстрація...

236. Пряма FC перпендикулярна до площині ромба ABCD, BD = FC = 20 см, BAD = 60°. Знайдіть відстань від точки F до прямих, які містять сторони ромба. Ілюстрація...

237. Через вершину прямого кута В трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр BN. Відстань від точки N до прямої АС дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки N до площини трикутника, якщо АС = 25 см, АВ = 15 см. Ілюстрація...

238. Через вершину М трикутника KMN до його площини проведено перпендикуляр РМ. Знайдіть відстань від точки Р до прямої KN, якщо РМ = 1 см, MK = 2 см, MN = 4 см, KMN =150°. Ілюстрація...

239. Через точку О перетину діагоналей паралелограма ABCD проведено перпендикуляр ОМ до його площини. Знайдіть відстані від точки М до прямих, що містять сторони паралелограма, якщо АВ = 5 см, AD = 12 см, ОМ = 4 см, площа паралелограма дорівнює 30 см2. Ілюстрація...

240. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 6 см. Через центр О трикутника до його площини проведено перпендикуляр ОМ завдовжки 3 см. Знайдіть кут між перпендикуляром, проведеним з точки М до сторони АC, і проекцією цього перпендикуляра на площину ABC. Ілюстрація...

241. У трапеції ABCD ( ВС || AD) відомо, що CD = 16 см, CDA = 30°. Точка М віддалена від кожної із сторін трапеції на 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини трапеції. Ілюстрація...

242. Точка S знаходиться на відстані 12 см від кожної із сторін ромба, діагоналі якого дорівнюють 18 см і 12 см. Знайдіть відстань від точки S до площини ромба. Ілюстрація...

243. Точка D віддалена на 5 см від кожної із сторін трикутника ABC. Знайдіть відстань від точки D до площини трикутника, якщо АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Ілюстрація...

244. Сторона ромба дорівнює а, а його площа — S. Точка М не належить площині ромба і віддалена від кожної із його сторін на відстань b. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба. Ілюстрація...

245. Проекція точки F на площину кута ABC належить бісектрисі цього кута. Доведіть, що точка F рівновіддалена від сторін кута. Ілюстрація...

246. Точка М належить діагоналі АС прямокутника ABCD. Через точку М до площини прямокутника проведено перпендикуляр MF завдовжки 4 см. Знайдіть відстань від точки F до сторони АВ, якщо АВ = 12 см, ВС = 16 см, AM : МС = 3 : 1. Ілюстрація...

247. Через вершину D прямокутника ABCD проведено перпендикуляр DF до його площини. Знайдіть довжину цього перпендикуляра, якщо DC = 12 см, FA = см, DB = 13 см. Ілюстрація...

248. З точки А до площини проведено перпендикуляр АО та похилу АK. Через точку K у площині проведено пряму, яка утворює з прямою кут . Знайдіть відстань від цієї прямої до точки A, якщо AKO = , АK = а. Ілюстрація...

249. Через вершину В прямого кута ABC проведено пряму, яка утворює з його сторонами кути і (ця пряма не лежить в площині ABC). Знайдіть кут між даною прямою та її проекцією на площину ABC. Ілюстрація...

250. Через середини сторін АВ і ВС паралелограма ABCD проведено площину, паралельну діагоналі АС і віддалену від неї на 9 см. Знайдіть відстань від точки D до даної площини. Ілюстрація...