Задачі на тему: "Комбінації тіл" (завдання підвищеного рівня)

615. а) Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об'ємів октаедра і куба. Ілюстрація...

615. b) Центри граней куба є вершинами правильного октаедра. Знайдіть відношення об'ємів куба і октаедра. Ілюстрація...

616. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано сферу. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут . Визначте площу поверхні сфери, якщо бічне ребро призми дорівнює а. Ілюстрація...

616. b )Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут . Визначте об'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює b. Ілюстрація...

617. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною основи кут . Визначте бічну поверхню призми. Ілюстрація...

617. b) Навколо правильної трикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут . Знайдіть об'єм призми. Ілюстрація...

618. а) У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму — циліндр. Знайдіть відношення об'ємів циліндрів. Ілюстрація...

618. b) У правильну трикутну призму вписано циліндр, а в циліндр — правильну трикутну призму. Знайдіть відношення об'ємів призм. Ілюстрація...

619. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом . Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми. Ілюстрація...

619. b) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом . Визначте бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

620. а) В основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут . Діагональ бічної грані призми, що містить меншу сторону прямокутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут . Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

620. b) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом . Діагональ бічної грані дорівнює m і утворює з площиною основи кут . Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

621. а) Основою прямої призми є рівнобедрена трапеція з гострим кутом . Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює m і утворює з площиною основи кут . Визначте об'єм циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

621. b) У пряму призму, основою якої є рівнобедрена трапеція з тупим кутом , вписано циліндр. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює a і нахилена до площини основи під кутом . Визначте об'єм циліндра. Ілюстрація...

622. а) Основа прямої призми — прямокутник зі стороною а і кутом , який утворює ця сторона з діагоналлю прямокутника. Діагональ призми утворює з площиною основи кут . Визначте об'єм циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

622. b) Основа прямої призми — ромб зі стороною а і кутом , який утворює ця сторона з більшою діагоналлю ромба. Менша діагональ призми утворює з площиною основи кут . Визначте об'єм циліндра, вписаного в цю призму. Ілюстрація...

623. а) Основа прямої призми — рівнобедрений трикутник з кутом (гострим) при вершині. Діагональ грані, що проходить через бічну сторону трикутника, дорівнює а і нахилена до основи під кутом . Визначте бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

623. b) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Діагональ грані, що проходить через основу трикутника, дорівнює m і нахилена до основи під кутом . Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

624. а) У кулю вписано правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а. Визначте поверхню кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом . Ілюстрація...

624. b) У кулю вписано правильну трикутну піраміду, висота якої дорівнює h. Визначте об'єм кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом . Ілюстрація...

625. а) З точки P поверхні кулі проведено три рівні хорди PA, PB і PC під кутом 60° одна до одної. Знайдіть радіус кулі, якщо відстань від точки P до площини ABC дорівнює d. Ілюстрація...

625. b) 3 точки P поверхні кулі проведено три рівні хорди під кутом 90° одна до одної. Знайдіть їх довжину, якщо радіус кулі дорівнює R. Ілюстрація...

626. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює . Визначте площу бічної поверхні піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює r. Ілюстрація...

626. b) У правильній трикутній піраміді бічна грань нахилена до основи під кутом . Визначте площу бічної поверхні піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в піраміду, дорівнює R. Ілюстрація...

627. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює b і нахилене до основи під кутом . Знайдіть площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди. Ілюстрація...

627. b) У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює H, а бічне ребро нахилене до основи під кутом . Знайдіть площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди. Ілюстрація...

628. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут . Знайдітьоб'єм піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює R. Ілюстрація...

628. b) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює Q. Ілюстрація...

629. а) У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює a, а плоский кут при вершині — . Визначте площу бічної поверхні конуса, вписаного в піраміду. Ілюстрація...

629. b) У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює a. а плоский кут при вершині — . Визначте об'єм конуса, вписаного в піраміду. Ілюстрація...

630. а) У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює m, а плоский кут при вершині — . Визначте об'єм конуса, вписаного в піраміду. Ілюстрація...

630. b) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Визначте площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює H. Ілюстрація...

631. а) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть повну поверхню вписаного конуса, якщо площа основи піраміди — S. Ілюстрація...

631. b) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з основою кут . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює R. Ілюстрація...

632. а) Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом . Відстань від вершини конуса до центра вписаної в нього кулі дорівнює d. Визначте площу бічної поверхні конуса. Ілюстрація...

632. b) Кут між твірною конуса і його висотою дорівнює . Відстань від центра описаної навколо конуса кулі до основи його висоти дорівнює m. Визначте площу бічної поверхні конуса. Ілюстрація...

633. а) У кулі радіуса R просвердлено циліндричний отвір, вісь якого проходить через центр кулі, а діаметр основи циліндра дорівнює радіусу кулі. Обчисліть об'єм частики кулі, що залишилася. Ілюстрація...

633. b) Конус вписано в кулю, радіус якої дорівнює R. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо кут при вершині його осьового перерізу дорівнює . Ілюстрація...

634. а) Прямокутний трикутник, катети якого 12 см і 16 см, обертається навколо гіпотенузи. Знайдіть площу поверхні тіла обертання та його об'єм. Ілюстрація...

634. b) Рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 120° і бічною стороною 20 см обертається навколо основи. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання. Ілюстрація...

635. а) Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см обертається навколо сторони 14 см. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання. Ілюстрація...

635. b) Рівнобедрений трикутник, основа якого 16 см і бічна сторона — 10 см, обертається навколо бічної сторони. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання. Ілюстрація...

636. а) Рівнобедрений трикутник з бічною стороною, що дорівнює 20 см і основою — 10 см, обертається навколо осі, яка містить його основу. Знайдіть об'єм тіла обертання. Ілюстрація...

636. b) Прямокутний трикутник, катети якого 10 см і 15 см, обертається навколо осі, що містить його гіпотенузу. Знайдіть об'єм тіла обертання. Ілюстрація...

637. а) Прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом 60° обертається навколо осі, що містить гіпотенузу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання. Ілюстрація...

637. b) Рівнобедрений трикутник з основою а і протилежним до неї кутом 120° обертається навколо осі, що містить основу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання. Ілюстрація...