Задачі на тему: "Комбінації тіл" (завдання поглибленого рівня)

638. а) Знайдіть об'єм правильної трикутної призми, якщо радіус описаної навколо неї сфери дорівнює R. Цей радіус, проведений до вершини призми, утворює кут з бічною гранню, що містить цю вершину. Ілюстрація...

638. b) Знайдіть об'єм правильної чотирикутної призми, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R. Цей радіус, проведений до вершини призми, утворює кут з бічною гранню, що містить цю вершину. Ілюстрація...

639. а) У кулю радіуса R вписано призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим кутом . Діагональ бічної грані, яка містить катет, прилеглий до цього кута, утворює з основою кут . Знайдіть об'єм призми. Ілюстрація...

639. b) В основі призми лежить прямокутний трикутник з катетом b і протилежним кутом . Діагональ грані, яка містить цей катет, нахилена до основи під кутом . Знайдіть площу поверхні описаної сфери. Ілюстрація...

640. а) У кулю радіуса R вписано призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим кутом . Діагональ бічної грані, яка містить катет, протилежний до цього кута, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об'єм призми. Ілюстрація...

640. b) В основі призми лежить прямокутний трикутник з катетом a прилеглим кутом . Діагональ грані, яка містить цей катет, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об'єм кулі, описаної навколо цієї призми. Ілюстрація...

641. а) У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, основою якого є квадрат зі стороною а. Знайдіть об'єм паралелепіпеда. Ілюстрація...

641. b) У пряму призму, основою якої є прямокутний трикутник з кутом і гіпотенузою c, вписано сферу. Знайдіть об'єм призми. Ілюстрація...

642. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом . Через протилежний катет нижньої основи і вершину кута проведено переріз, який утворює з площиною основи кут . Перпендикуляр, проведений з вершини кута нижньої основи до перерізу, дорівнює a. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо цієї призми. Ілюстрація...

642. b) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом . Через протилежний до кута катет нижньої основи і вершину кута верхньої основи проведено переріз. Перпендикуляр, проведений з вершини кута нижньої основи до цього перерізу, дорівнює b і утворює з площиною основи кут . Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми. Ілюстрація...

643. а) У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою бічною гранню кут . Діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною основи кут . Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда. Ілюстрація...

643. b) У кулю вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з більшою бічною гранню кут , кут між діагоналями основи паралелепіпеда дорівнює . Знайдіть поверхню кулі, якщо висота паралелепіпеда дорівнює H. Ілюстрація...

644. а) У кулю вписано правильну трикутну призму. Радіус кулі дорівнює 3*31/2 см. При якій довжині висоти призми об'єм її буде найбільшим? Ілюстрація...

644. b) У кулю радіуса 31/2 см вписано правильну чотирикутну призму. Якою повинна бути довжина висоти призми, щоб її об'єм був найбільшим? Ілюстрація...

645. а) У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз. 3 вершини, що не належить цій стороні, до площини перерізу проведено перпендикуляр, який дорівнює а і утворює з площиною нижньої основи кут . Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

645. b) У правильній трикутній призмі через діагоналі, що належать бічним граням і перетинаються в площині верхньої основи, проведено переріз. З вершини, яка не належить перерізу, проведено перпендикуляр довжиною b до площини цього перерізу. Він утворює з бічним ребром, що проходить через цю вершину, кут . Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

646. а) У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут . Площа перерізу дорівнює S. Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

646. b) У правильній трикутній призмі через дві діагоналі двох бічних граней, що перетинаються, проведено переріз, який утворює з основою кут . Площа перерізу дорівнює Q. Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

647. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагоналі двох рівних бічних граней, що мають спільну вершину, утворюють між собою кут . Знайдіть об'єм призми, якщо радіус циліндра, описаного навколо призми, дорівнює R. Ілюстрація...

647. b) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Діагоналі двох рівних бічних граней, що мають спільну вершину, утворюють між собою кут . Знайдіть об'єм призми, якщо радіус циліндра, вписаного в призму, дорівнює r. Ілюстрація...

648. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Через дві рівні діагоналі двох бічних граней, кут між якими дорівнює , проведено переріз, площа якого дорівнює S. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

648. b) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Через дві діагоналі рівних бічних граней проведено переріз, площа якого дорівнює Q. Кут між цими діагоналями дорівнює . Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в призму. Ілюстрація...

649. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Через основу трикутника нижньої грані і протилежну вершину верхньої грані проведено переріз, який утворює з площиною основи призми кут . Перпендикуляр, проведений з вершини нижньої основи, що не належить даному перерізу, до цього перерізу, дорівнює b. Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

649. b) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Через діагоналі двох рівних бічних граней, що перетинаються у вершині верхньої грані, проведено переріз. Перпендикуляр, проведений з вершини нижньої основи призми, яка не належить даному перерізу, до цього перерізу, нахилений до площини основи під кутом і дорівнює а. Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

650. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагональ грані, що містить сторону основи цього трикутника, нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть бічну поверхню призми, якщо радіус циліндра, описаного навколо даної призми, дорівнює R. Ілюстрація...

650. b) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Діагональ грані, що містить бічну сторону цього трикутника, нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть бічну поверхню призми, якщо радіус вписаного в неї циліндра дорівнює r. Ілюстрація...

651. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим кутом . Через діагоналі двох бічних граней, що містять сторони кута , проведено переріз, площа якого S. Кут між цими діагоналями дорівнює . Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

651. b) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом . Через діагоналі двох бічних граней, що містять сторони кута , проведено переріз, площа якого Q. Кут між цими діагоналями дорівнює . Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

652. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами і . Діагональ грані, що містить сторону, прилеглу до даних кутів, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми. Висота призми дорівнює H. Ілюстрація...

652. b) В основі прямої призми лежить трикутник зі стороною а і прилеглими до неї кутами і . Діагональ грані, що містить дану сторону, утворює з бічним ребром призми кут . Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо цієї призми. Ілюстрація...

653. а) В основі прямої призми лежить трикутник зі стороною с і прилеглими кутами і . Діагональ грані, що містить дану сторону, нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

653. b) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами і . Діагональ грані, що містить прилеглу до даних кутів сторону, дорівнює b і утворює з площиною основи кут . Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

654. а) У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює a. Діагональ паралелепіпеда утворює з його більшою бічною гранню кут , а з площиною основи кут . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. Ілюстрація...

654. b) У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого дорівнює d і утворює з меншою бічною гранню кут . Визначте об'єм циліндра, якщо діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною основи кут . Ілюстрація...

655. а) Основа прямої призми — прямокутник з кутом між діагоналями. Діагональ однієї з бічних граней утворює з основою кут , а діагональ суміжної з нею бічної грані дорівнює т. Обчисліть бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

655. b) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом . Менша діагональ призми нахилена до її основи під кутом , а більша діагональ дорівнює d. Обчисліть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

656. а) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом . Переріз, проведений через більшу діагональ нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи, нахилений до основи під кутом . Площа перерізу дорівнює Q. Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

656. b) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом між діагоналлю і більшою стороною. Діагональ меншої бічної грані утворює з основою кут . Площа діагонального перерізу дорівнює Q. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми. Ілюстрація...

657. а) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом . Переріз, проведений через більшу діагональ нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи, нахилений до основи під кутом . Площа перерізу — S. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Ілюстрація...

657. b) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом між діагоналями. Діагональ меншої бічної грані утворює з основою кут . Діагональ призми дорівнює m. Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми. Ілюстрація...

658. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом . Обчисліть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R. Ілюстрація...

658. b) У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з основою кут . Обчисліть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R. Ілюстрація...

659. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює . Знайдіть повну поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r. Ілюстрація...

659. b) У правильній трикутній піраміді бічна грань нахилена до основи під кутом . Знайдіть повну поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r. Ілюстрація...

660. а) У правильній трикутній піраміді відстань від центра вписаної в неї кулі до сторони основи дорівнює d. Визначте повну поверхню піраміди, якщо її бічна грань нахилена до основи під кутом . Ілюстрація...

660. b) У правильній трикутній піраміді відстань від центра описаної навколо неї кулі до бічного ребра дорівнює m. Визначте повну поверхню піраміди, якщо її бічні ребра нахилені до основи під кутом . Ілюстрація...

661. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R. Ілюстрація...

661. b) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R. Ілюстрація...

662. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r. Ілюстрація...

662. b) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r. Ілюстрація...

663. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R. Ілюстрація...

663. b) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R. Ілюстрація...

664. а) Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює . Радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Знайдіть об'єм описаної кулі. Ілюстрація...

664. b) Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює . Радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Знайдіть об'єм описаної кулі. Ілюстрація...

665. а) Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а. Бічне ребро нахилене до основи під кутом . Знайдіть об'єм вписаної кулі. Ілюстрація...

665. b) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює b. Кут нахилу бічного ребра до основи дорівнює . Знайдіть об'єм вписаної кулі. Ілюстрація...

666. а) Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює h. Бічне ребро утворює з висотою кут . Знайдіть об'єм описаної кулі. Ілюстрація...

666. b) Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює d. Бічне ребро утворює з висотою кут . Знайдіть об'єм описаної кулі. Ілюстрація...

667. а) У кулю радіуса R вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди. Ілюстрація...

667. b) У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди. Ілюстрація...

668. а) У кулю радіуса R вписано правильну трикутну піраміду, бічні грані якої нахилені під кутом до основи. Знайдіть площу повної поверхні піраміди. Ілюстрація...

668. b) У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду, бічні грані якої утворюють кут з основою. Знайдіть площу повної поверхні піраміди. Ілюстрація...

669. а) Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює H. Плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть площу поверхні описаної кулі. Ілюстрація...

669. b) Висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть площу поверхні вписаної сфери. Ілюстрація...

670. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом . Обчисліть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R. Ілюстрація...

670. b) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . Обчисліть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r. Ілюстрація...

671. а) У рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює a і утворює з більшою основою кут . Визначте об'єм тіла, утвореного при обертанні трапеції навколо більшої основи. Ілюстрація...

671. b) Рівнобедрена трапеція, менша основа і бічна сторона якої дорівнюють a, а кут при більшій основі , обертається навколо меншої основи. Знайдіть об'єм тіла обертання. Ілюстрація...

672. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Дві рівні бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя бічна грань утворює з нею кут , Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює r. Ілюстрація...

672. b) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Дві рівні бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя бічна грань утворює з нею кут . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R. Ілюстрація...

673. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює r. Ілюстрація...

673. b) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює r. Ілюстрація...

674. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі і радіусом вписаного кола r. Знайдіть об'єм описаної навколо піраміди кулі, якщо бічні ребра піраміди нахилені під кутом до основи. Ілюстрація...

674. b) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі і радіусом описаного кола R. Знайдіть об'єм вписаної кулі, якщо кожна бічна грань піраміди утворює з основою кут . Ілюстрація...

675. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом . Всі бічні грані піраміди утворюють з площиною основи кут . В цю піраміду вписано кулю. Відстань від центра кулі до вершини піраміди дорівнює m. Знайдіть об'єм піраміди. Ілюстрація...

675. b) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Бічні грані нахилені до площини основи під кутом . В цю піраміду вписано кулю, відстань від центра кулі до основи рівнобедреного трикутника дорівнює m. Знайдіть об'єм піраміди. Ілюстрація...

676. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершин . Всі бічні грані нахилені під кутом до основи. Знайдіть об'єм вписаної кулі. Ілюстрація...

676. b) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, сторона основи якого дорівнює a і кут при основі . Всі бічні грані нахилені під кутом до основи. Знайдіть площу поверхні вписаної кулі. Ілюстрація...

677. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом . Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R. Ілюстрація...

677. b) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом . Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r. Ілюстрація...

678. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом . Всі бічні ребра рівні. Навколо піраміди описано кулю. Центр кулі належить висоті піраміди. Відстань від центра кулі до основи висоти піраміди дорівнює m. Знайдіть об'єм піраміди, якщо кут нахилу бічного ребра до площини основи піраміди дорівнює . Ілюстрація...

678. b) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Всі бічні ребра рівні. Вони утворюють з площиною основи кут . Навколо піраміди описано кулю. Центр кулі належить висоті піраміди. Відстань від центра кулі до основи висоти піраміди дорівнює d. Знайдіть об'єм піраміди. Ілюстрація...

679. а) В основі чотирикутної піраміди лежить ромб з тупим кутом . Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть об'єм піраміди, якщо відстань від центра вписаної кулі до вершини піраміди дорівнює d. Ілюстрація...

679. b) В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник з кутом між діагоналями. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть об'єм піраміди, якщо відстань від центра описаної кулі до основи висоти піраміди дорівнює m. Ілюстрація...

680. а) Основа піраміди — ромб з гострим кутом , двогранні кути при основі . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі r. Ілюстрація...

680. b) Основа піраміди — ромб з тупим кутом , двогранні кути при основі . Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює r. Ілюстрація...

681. а) Основа піраміди — рівнобічна трапеція з основами а і b, двогранні кути при основі . Знайдіть об'єм вписаної кулі. Ілюстрація...

681. b) Основа піраміди — прямокутна трапеція з основами а і b, двогранні кути при основі . Знайдіть об'єм вписаної кулі. Ілюстрація...